Ogólna Teoria Względności przeznaczona jest dla studentów wszystkich uczelni, na których wykładana jest fizyka. Może być przydatna dla nauczycieli fizyki w szkołach średnich. Mam nadzieję, że zostanie wykorzystana również przez zawodowych relatywistów.
Ogólna Teoria Względności jest drugą częścią tryptyku, pozostałe dwie to:
• Szczególna Teoria Względności
• Twórcy Teorii Względności
Szczegółowe informacje bibliograficzne, biograficzne oraz ikonograficzne znajdują się w trzeciej części tryptyku.
Darmowy fragment publikacji:
Zbigniew Osiak
OGÓLNA
TEORIA
WZGLĘDNOŚCI
1
2
Zbigniew Osiak
OGÓLҭA
TEORIA WZGLĘDҭOŚCI
ZE SZCZEGÓLҭYM UWZGLĘDҭIEҭIEM RACHUҭKU TEҭSOROWEGO
Matematyka powinna być służącą, a nie królową.
Arielowi,
mojemu synowi poświęcam
3
© Copyright by Zbigniew Osiak
Wszelkie prawa zastrzeżone. Rozpowszechnianie i kopiowanie całości lub części publikacji
zabronione bez pisemnej zgody autora.
Portret (rysunek) Alberta Einsteina zamieszczony na stronie tytułowej
Małgorzata Osiak
Portret autora zamieszczony na okładkach przedniej i tylnej
Rafał Pudło
Wydawnictwo: Self Publishing
ISBN: 978-83-272-3515-2
e-mail: zbigniew.osiak@live.com
4
WSTĘP
Fizycy to poeci nauki tworzący jej awangardę.
Ogólna Teoria Względności przeznaczona jest dla studentów wszystkich uczelni, na których
wykładana jest fizyka. Może być przydatna dla nauczycieli fizyki w szkołach średnich. Mam
nadzieję, że zostanie wykorzystana również przez zawodowych relatywistów.
Ogólna Teoria Względności jest drugą częścią tryptyku, pozostałe dwie to:
• Szczególna Teoria Względności
• Twórcy Teorii Względności
Szczegółowe informacje bibliograficzne, biograficzne oraz ikonograficzne znajdują się w
trzeciej części tryptyku.
Należę do pokolenia fizyków, dla których idolami byli Albert Einstein, Lew Nikołajewicz
Landau i Richard P. Feynman. Einstein zniewolił mnie potęgą swej intuicji. Landaua podzi-
wiam za rzetelność, precyzję, elegancję i prostotę wywodów, oraz instynktowne wyczuwanie
istoty zagadnienia. Feynman urzekł mnie lekkością narracji i subtelnym poczuciem humoru.
Praca nad tryptykiem zajęła mi sześć lat.
Zbigniew Osiak
Wrocław, wrzesień 2004
5
SPIS TREŚCI
STROҭA TYTUŁOWA
STROҭA PRAW AUTORSKICH
WSTĘP
POLE GRAWITACYJҭE – TEORIA ҭEWTOҭA 15
1. Równania pola grawitacyjnego 15
• Wektor natężenia pola grawitacyjnego 15
• Prawo Gaussa w postaci całkowej (globalnej) 15
• Prawo Gaussa w postaci różniczkowej (lokalnej) 16
• Potencjalność stacjonarnego (stałego) pola wektora E 16
• Związek między natężeniem a potencjałem 16
• Równanie Poissona i Laplace’a 17
• Prawo Newtona 17
• Zapis prawa Newtona w postaci wektorowej 17
2. Równania ruchu punktu materialnego w zewnętrznym polu grawitacyjnym 18
3. Pole grawitacyjne punktowej masy 18
• Natężenie pola grawitacyjnego w odległości r od punktowego źródła o masie M 18
• Praca sił pola grawitacyjnego przy przemieszczaniu cząstki o masie m w polu punkto-
wego źródła o masie M z punktu A do punktu B wzdłuż linii sił 18
• Potencjał pola grawitacyjnego w odległości r od punktowego źródła o masie M 18
4. Pole grawitacyjne układu punktów materialnych, zasada superpozycji 19
• Zasada superpozycji natężeń 19
• Zasada superpozycji potencjałów 19
5. Rozwinięcie multipolowe potencjału pola grawitacyjnego układu punktów material-
nych 19
• Rozwinięcie multipolowe potencjału 19
• Człon dipolowy w rozwinięciu potencjału 20
• Człon kwadrupolowy w rozwinięciu potencjału 21
• Tensor momentu kwadrupolowego 21
• Związek tensora momentu kwadrupolowego z tensorem momentu bezwładności 22
6. Energia potencjalna układu punktów materialnych w zewnętrznym polu grawitacyj-
nym 23
• Energia potencjalna punktowej masy w zewnętrznym polu grawitacyjnym 23
• Energia potencjalna układu punktów materialnych w zewnętrznym polu grawitacyj-
nym 23
7. Energia potencjalna wzajemnego oddziaływania między punktami materialnymi 25
• Energia potencjalna wzajemnego oddziaływania dwóch punktów materialnych 25
• Energia potencjalna wzajemnego oddziaływania dowolnego układu punktów material-
nych 26
• Energia potencjalna ciągłego rozkładu mas 27
6
8. Energia pola grawitacyjnego 27
9. Równanie toru w centralnym polu grawitacyjnym 28
10. Prawa Keplera 31
• Pierwsze prawo Keplera 31
• Drugie prawo Keplera 31
• Trzecie prawo Keplera 31
11. Prędkości kosmiczne 32
• Pierwsza prędkość kosmiczna w przypadku orbity kołowej 32
• Druga prędkość kosmiczna (prędkość ucieczki) w przypadku orbity liniowej 32
• Prędkości na dowolnych orbitach 32
• Pierwsza prędkość kosmiczna dla orbity kołowej w przypadku wirującej planety 33
12. Swobodny spadek i grawitacyjne zapadanie 34
• Cząstka swobodnie spadająca ze skończonej odległości na powierzchnię znajdującą
się w odległości r od centrum źródła pola grawitacyjnego 34
• Grawitacyjne zapadanie 34
13. Siły pływowe 35
• Siły pływowe 35
• Siły pływowe rozciągające 35
• Siły pływowe ściskające 35
OGÓLҭA ZASADA WZGLĘDҭOŚCI 36
1. Podstawowe postulaty ogólnej teorii względności 36
• Podstawowe postulaty szczególnej teorii względności 36
• Podstawowe postulaty ogólnej teorii względności 36
• Struktura tensora metrycznego 38
2. Czasoprzestrzeń 39
• Płaska czasoprzestrzeń Minkowskiego, układy inercjalne 39
• Płaska czasoprzestrzeń Minkowskiego, układy nieinercjalne 40
• Zakrzywiona czasoprzestrzeń Riemanna, układy lokalne 41
• Czas własny w ogólnej teorii względności 42
• Odległość przestrzenna w ogólnej teorii względności 42
• Jakie warunki musi spełniać tensor metryczny aby mógł określać metrykę realnej cza-
soprzestrzeni? 43
3. Zapisywanie równań w postaci ogólnie kowariantnej 44
• Zasady zapisywania równań w postaci ogólnie kowariantnej 44
• Podstawowa forma metryczna 45
• Iloczyn skalarny dwóch wektorów 45
• Długość wektora 45
• Czteroprędkość 46
• Czteroprzyspieszenie 46
• Równanie bilansu wielkości skalarnej 47
4. Równania ruchu cząstki w ogólnej teorii względności 48
• Czterowymiarowa prędkość 48
• Czterowymiarowe przyspieszenie 48
• Czterowymiarowe równania ruchu cząstki próbnej 48
• Swobodny ruch cząstki próbnej 50
5. ҭieinercjalne układy odniesienia 51
• Tensor metryczny w nieinercjalnym układzie odniesienia 51
• Układ ze stałym przyspieszeniem 51
7
• Układ obracający się 53
• Układ drgający 55
6. Tensor pędu-energii cieczy nielepkiej 57
• Relatywistyczne równanie bilansu masy hydrodynamicznej w inercjalnym układzie
ortonormalnym w płaskiej czasoprzestrzeni Minkowskiego 57
• Równania bilansu gęstości objętościowej pędu-energii cieczy nielepkiej w inercjalnym
układzie ortonormalnym w płaskiej czasoprzestrzeni Minkowskiego 58
• Tensor pędu-energii cieczy nielepkiej w dowolnym układzie współrzędnych 60
7. Tensor pędu-energii pyłu bezciśnieniowego 61
• Pył bezciśnieniowy 61
• Równanie bilansu masy pyłu bezciśnieniowego w inercjalnym układzie ortonormal-
nym w płaskiej czasoprzestrzeni Minkowskiego 61
• Równania bilansu gęstości objętościowej pędu-energii pyłu bezciśnieniowego w iner-
cjalnym układzie ortonormalnym w płaskiej czasoprzestrzeni Minkowskiego 62
• Tensor pędu-energii pyłu bezciśnieniowego w dowolnym układzie współrzędnych 63
8. Równania Maxwella w ogólnej teorii względności 64
• Czterowektor gęstości prądu 64
• Tensory pola elektromagnetycznego 64
• Jednorodne równania Maxwella 65
• Niejednorodne równania Maxwella 66
• Zmodyfikowane równania Maxwella w postaci trójwymiarowej 67
9. Tensor pędu-energii pola elektromagnetycznego w próżni 68
• Tensor pędu-energii pola elektromagnetycznego w próżni w inercjalnym układzie or-
tonormalnym w płaskiej czasoprzestrzeni Minkowskiego 68
• Tensor pędu-energii pola elektromagnetycznego w próżni w dowolnym układzie
współrzędnych 68
• Ślad tensora pędu-energii pola elektromagnetycznego w próżni 68
POLE GRAWITACYJҭE – TEORIA EIҭSTEIҭA 69
1. Równania ogólnej teorii względności 69
• Podstawowe (główne) idee i postulaty 69
• Tensor pędu-energii 70
Tensor pędu-energii dla cieczy nielepkiej 70
Tensor pędu-energii dla pyłu bezciśnieniowego 70
Tensor pędu-energii pola elektromagnetycznego w próżni 70
• Tensor krzywizny Einsteina 70
• Równania pola grawitacyjnego (Równania metryki czasoprzestrzeni) 71
Równania pola w postaci kowariantnej 71
Równania pola w postaci konttrawariantnej 71
Równania pola w postaci mieszanej 71
• Skalar krzywizny 72
• Zasada zachowania pędu i energii w postaci mieszanej 73
• Zasada zachowania pędu i energii w postaci kontrawariantnej 73
• Zasada zachowania pędu i energii w postaci kowariantnej 74
• Równania pola grawitacyjnego a zasady zachowania pędu i energii 75
• Równania ruchu w płaskiej czasoprzestrzeni 77
• Równania ruchu w zakrzywionej czasoprzestrzeni 77
2. Przybliżone rozwiązanie de Sittera-Einsteina 78
• Tensor krzywizny słabego pola grawitacyjnego 78
8
• Równania stacjonarnego słabego pola grawitacyjnego 79
• Równania ruchu w przypadku słabego stacjonarnego pola grawitacyjnego 81
• Wpływ potencjału grawitacyjnego na odległość przestrzenną dwóch zdarzeń 82
• Wpływ potencjału grawitacyjnego na odstęp czasu między dwoma zdarzeniami 82
• Przesunięcie linii spektralnych w polu grawitacyjnym 83
3. Dokładne rozwiązanie Schwarzschilda 84
• Próżniowe (zewnętrzne) rozwiązanie Schwarzschilda 84
• Równanie orbity 87
• Obrót orbity 88
• Zakrzywienie toru promieni świetlnych w polu grawitacyjnym 90
• Metryka Schwarzschilda jako metryka zakrzywionej czasoprzestrzeni 91
• Promień Schwarzschilda i czarne dziury 93
• Minimalna średnia gęstość czarnej dziury 93
• Radialne przyspieszenie grawitacyjne swobodnego spadku odpowiadające metryce
Schwarzschilda 94
• Fizyczna (przeskalowana) składowa radialna przyspieszenia grawitacyjnego
swobodnego spadku 95
• Wartość radialnego przyspieszenia grawitacyjnego swobodnego spadku 95
• Współrzędne Kruskala-Szekeresa 96
• Rozwiązanie Schwarzschilda a przybliżone rozwiązanie de Sittera-Einsteina 97
• Swobodny spadek na wirującą planetę 98
• Przykład: Pierwsza prędkość kosmiczna dla orbity kołowej w płaszczyźnie
równikowej 102
• Przykład: Ogólna postać w zmiennych (t, r, θ , ϕ ) równań ruchu swobodnej cząstki
próbnej w polu grawitacyjnym wirującej planety 102
4. Rozwiązanie Weyla 104
• Metryka Weyla 104
5. Rozwiązanie Kerra 105
• Metryka Kerra 105
6. Fale grawitacyjne 106
• Równania niestacjonarnego słabego pola grawitacyjnego w próżni są równaniami falo-
wymi 106
• Cechowanie TT 107
• Fale grawitacyjne są falami poprzecznymi 108
• Równania niestacjonarnego słabego pola poruszających się ciał 109
• Emisja fal grawitacyjnych 113
• Przykład 114
7. Tensor momentu kwadrupolowego 115
• Tensor momentu kwadrupolowego ciągłego rozkładu mas 115
• Bezśladowy tensor momentu kwadrupolowego ciągłego rozkładu mas 115
• Elipsoida 115
• Tensor momentu kwadrupolowego rozkładu mas rozmieszczonych ze stałą gęstością
objętościową w obszarze elipsoidy w układzie współrzędnych, który stanowią osie eli-
psoidy 116
8. Model Wszechświata Einsteina: „Materia bez ruchu” 119
• Trójwymiarowa hipersfera zanurzona w czterowymiarowej płaskiej przestrzeni Eukli-
desowej jako trójwymiarowa przestrzeń o stałej krzywiźnie Riemanna 119
• Metryka modelu Wszechświata Einsteina 120
• Składowe tensora Ricciego 120
• Skalar krzywizny 120
9
• Składowe tensora Einsteina 120
• Tensor pędu energii 120
• Równania pola 120
• Równania pola z członem kosmologicznym 121
• Warunki wynikające z równań bilansu pędu i energii jakie musi spełniać człon kos-
mologiczny jako dodatkowy człon w równaniach pola 121
• Metryka Einsteina we współrzędnych sferycznych 121
9. Model Wszechświata de Sittera: „Ruch bez materii” 122
• Rozwiązanie de Sittera 122
10. Model Wszechświata Friedmana 123
• Podstawowe założenia 123
• Podstawowa forma metryczna Friedmana-Lemaître-Robertsona-Walkera w układzie
kartezjańskim 123
• Składowe kowariantnego tensora metrycznego F-L-R-W 123
• Składowe kontrawariantnego tensora metrycznego F-L-R-W 123
• Składowe mieszanego tensora metrycznego F-L-R-W 123
• Symbole Christoffela pierwszego rodzaju 124
• Symbole Christoffela drugiego rodzaju 124
• Składowe tensora Ricciego 125
• Skalar krzywizny 126
• Składowe tensora Einsteina 127
• Tensor pędu-energii dla pyłu i promieniowania 127
• Równania pola 127
• Równania pola wyrażone przez stałą Hubble’a 128
• Równania bilansu pędu i energii 128
• Równania kosmologiczne dla pyłu i promieniowania 129
• Analiza modelu 130
• Analiza modelu w przypadku różnej od zera stałej kosmologicznej 131
• Prawo Hubble’a 132
• Metryka F-L-R-W we współrzędnych sferycznych 133
11. Prosty model rozszerzającej się czasoprzestrzeni 134
• Podstawowe założenia 134
• Podstawowa forma metryczna 134
• Składowe kowariantnego tensora metrycznego 134
• Składowe kontrawariantnego tensora metrycznego 134
• Składowe mieszanego tensora metrycznego 134
• Symbole Christoffela pierwszego rodzaju 135
• Symbole Christoffela drugiego rodzaju 135
• Składowe tensora Ricciego 135
• Skalar krzywizny 135
• Składowe tensora Einsteina 136
• Tensor pędu-energii dla pyłu i promieniowania 136
• Równania pola 136
• Prawa zachowania 137
• Równania kosmologiczne dla pyłu i promieniowania 137
• Niezerowe składowe mieszanego tensora krzywizny 138
• Analiza modelu 138
• Prawo Hubble’a 139
12. Model wirującego Wszechświata Gödla 140
• Rozwiązanie Gödla 140
10
• Metryka Gödla we współrzędnych cylindrycznych 140
ҭIEZBĘDҭIK MATEMATYCZҭY 142
1. Macierze 142
• Podstawowe definicje 142
• Wyznacznik macierzy 142
• Dodawanie macierzy 143
• Mnożenie macierzy 143
• Macierz transponowana 143
• Macierz symetryczna 143
• Macierz odwrotna 143
• Równanie charakterystyczne, wartości własne i wektory własne macierzy 144
• Transformacje ortogonalne 145
2. Algebraiczne formy kwadratowe 147
• Forma kwadratowa 147
• Macierz formy kwadratowej 147
• Rząd formy kwadratowej 147
• Dodatnio określone formy kwadratowe 147
• Kryteria dla dodatnio określonych form kwadratowych 147
• Sprowadzanie formy kwadratowej do postaci kanonicznej (diagonalnej) 147
• Sygnatura formy kwadratowej 147
• Prawo bezwładności formy kwadratowej 147
• Niezmienniki liniowych przekształceń ortogonalnych formy kwadratowej 148
3. Liniowe przekształcenia ortogonalne i różniczkowe formy kwadratowe w teorii
względności 148
• Czasoprzestrzeń 148
• Transformacja przeprowadzająca formę metryczną urojoną w rzeczywistą 148
4. Prostoliniowe układy współrzędnych 149
• Dualny (sprzężony) układ współrzędnych 149
• Algorytm konstrukcji bazy dualnej (sprzężonej) 150
• Transformacje wektorów bazowych 152
• Współrzędne kontrawariantne i kowariantne 154
• Iloczyn skalarny dwóch wektorów 155
• Długość wektora 155
• Iloczyn skalarny jako niezmiennik dowolnej transformacji liniowej 156
5. Tensory 157
• Wektory kontrawariantne i kowariantne jako tensory pierwszego rzędu 157
• Tensory kontrawariantne, kowariantne i mieszane drugiego rzędu 158
• Tensory g-kontrawariantne i d-kowariantne 159
• Delta Kroneckera jako tensor 160
6. Tensor metryczny 161
• Kowariantny tensor metryczny 161
• Kontrawariantny tensor metryczny 161
• Własności tensorów metrycznych 162
• Podstawowa forma metryczna (Kwadrat elementu liniowego) 163
• Liniowe przekształcenie ortogonalne współrzędnych sprowadzające podstawową for-
mę metryczną do postaci diagonalnej 166
7. Współrzędne krzywoliniowe 167
• Współrzędne krzywoliniowe 167
11
• Lokalne układy współrzędnych związane ze współrzędnymi krzywoliniowymi 167
• Układy współrzędnych ze zmienną bazą 168
• Różniczka promienia wodzącego 168
• Kwadrat różniczki promienia wodzącego 168
• Druga różniczka promienia wodzącego 168
• Ograniczenia dotyczące operacji wykonywanych na tensorach w układzie współrzęd-
nych o zmiennej bazie 169
• Przykład: Iloczyn skalarny 169
• Wyznaczanie tensora metrycznego 169
• Przykład: Współrzędne sferyczne 170
• Współrzędne sferyczne w przypadku trójwymiarowym 172
• Ortogonalne układy współrzędnych krzywoliniowych 174
• Fizyczne (prawdziwe) wartości składowych 174
8. Algebra tensorów 177
• Dodawanie tensorów 177
• Mnożenie tensorów 177
• Zwężanie (kontrakcja) tensorów 177
• Obniżanie i podnoszenie wskaźników 178
• Zamiana składowych kontrawariantnych na kowariantne i vice versa 179
• Operacja symetryzowania 180
• Operacja alternowania 180
9. Analiza tensorów 181
• Symbole Christoffela pierwszego i drugiego rodzaju 181
• Kontrakcja symboli Christoffela drugiego rodzaju 182
• Własności transformacyjne symboli Christoffela pierwszego rodzaju 183
• Własności transformacyjne symboli Christoffela drugiego rodzaju 183
• Przykład: Druga różniczka promienia wodzącego w trójwymiarowym lokalnym ukła-
dzie odpowiadającym współrzędnym sferycznym 185
• Przesunięcie równoległe wektora 186
• Różnica wektorów określonych wzdłuż zadanej linii 186
• Pochodna absolutna wektora kontrawariantnego zadanego wzdłuż linii 187
• Pochodna absolutna wektora kowariantnego zadanego wzdłuż linii 188
• Pochodna kowariantna i kontrawariantna wektora 189
• Pochodna kowariantna tensora drugiego rzędu 189
• Przykład: Pochodne tensorów metrycznych 189
• Dywergencja wektora kontrawariantnego 190
• Dywergencja wektora kowariantnego 190
• Dywergencja tensora kontrawariantnego drugiego rzędu 191
• Dywergencja antysymetrycznego (skośniesymetrycznego) tensora kontrawariantnego
drugiego rzędu 191
• Dywergencja tensora kowariantnego drugiego rzędu 191
• Dywergencja tensora mieszanego drugiego rzędu 192
• Dywergencja symetrycznego mieszanego tensora drugiego rzędu 192
• Związki między dywergencjami tensorów drugiego rzędu 193
• Gradient funkcji skalarnej 193
• Laplasjan funkcji skalarnej 194
• Rotacja jako kowariantny tensor antysymetryczny drugiego rzędu 194
• Twierdzenie Gaussa 194
• Pochodna kowariantna dowolnego tensora 195
12
• Pochodna kontrawariantna dowolnego tensora 196
• Pochodna kowariantna (kontrawariantna) sumy i iloczynu tensorów 199
• Pochodne wyższych rzędów 199
• Dywergencja tensora metrycznego 200
• Dalsze własności tensora metrycznego 200
10. Przestrzeń Riemanna 201
• Płaskie przestrzenie z metryką 201
• Przestrzeń Riemanna jako przestrzeń zakrzywiona z metryką 201
• Kowariantny tensor metryczny i kowariantne wektory bazowe 202
• Kontrawariantny tensor metryczny 202
• Lokalny układ współrzędnych i styczna przestrzeń 202
• Iloczyn skalarny wektorów kontrawariantnych 203
• Iloczyn skalarny wektorów kowariantnych 203
• Rzeczywista wartość wektora kontrawariantnego 203
• Rzeczywista wartość wektora kowariantnego 203
• Warunek prostopadłości (ortogonalności) wektorów 203
• Operacje na tensorach w przestrzeni Riemanna 203
• Równania geodetyki 204
• Geodetyka zerowa 204
11. Tensor krzywizny 205
• Mieszany tensor krzywizny Grossmanna czwartego rzędu 205
• Własności tensora krzywizny Grossmanna 206
• Kowariantny tensor krzywizny Riemanna-Christoffela czwartego rzędu 206
• Własności tensora krzywizny Riemanna-Christoffela 206
• Podstawowe kryterium zakrzywienia przestrzeni 207
• Różnica pochodnych kowariantnych drugiego rzędu wektora kontrawariantnego 207
• Różnica pochodnych kowariantnych drugiego rzędu wektora kowariantnego 207
• Kowariantny tensor krzywizny Ricciego drugiego rzędu 208
• Własności tensora Ricciego 208
• Mieszany tensor krzywizny Einsteina 209
• Kontrawariantny tensor krzywizny Einsteina 210
• Kowariantny tensor krzywizny Einsteina 210
• Konforemne przekształcenie metryki 211
• Kowariantny tensor krzywizny konforemnej Weyla 211
• Własności tensora krzywizny konforemnej Weyla 212
• Mieszany tensor krzywizny konforemnej Weyla 212
• Twierdzenia o płaskości i zakrzywieniu przestrzeni 213
• Równania dewiacji geodezyjnej 213
12. Składowe kontrawariantne tensora metrycznego i jego wyznacznik, dwu-, trój- i
cztero-składnikowe symbole Ricciego, symbole Christoffela pierwszego i drugiego
rodzaju, składowe tensorów krzywizny 214
• Składowe kontrawariantne tensora metrycznego i jego wyznacznik 214
• Niezerowe dwuskładnikowe, trójskładnikowe i czteroskładnikowe symbole Ricciego
214
• Jawna postać symboli Christoffetla pierwszego rodzaju 215
• Jawna postać symboli Christoffetla drugiego rodzaju 216
• Jawna postać kowariannego tensora krzywizny Ricciego 218
• Niezależne składowe mieszanego tensora krzywizny Grosssmanna 220
• Jawna postać niezerowych składowych mieszanego tensora krzywizny Grossmanna
221
13
• Niezależne składowe kowariantnego tensora krzywizny Riemanna- Christoffela 227
• Niezerowe niezależne składowe kowariantnego tensora krzywizny wyrażone przez
składowe mieszanego tensora krzywizny 228
• Składowe kowariantnego tensora Ricciego wyrażone przez składowe mieszanego ten-
sora Grossmanna 229
• Składowe kowariantnego tensora Ricciego wyrażone przez składowe kowariantnego
tensora Riemanna-Christoffela 230
• Składowe kontrawariantne tensora metrycznego i jego wyznacznik dla metryki stacjo-
narnej o zerowych składowych przestrzenno-czasowych 231
• Jawna postać symboli Christoffela pierwszego rodzaju dla metryki stacjonarnej o zero-
wych składowych przestrzenno-czasowych 232
• Jawna postać symboli Christoffela drugiego rodzaju dla metryki stacjonarnej o zero-
wych składowych przestrzenno-czasowych 233
• Jawna postać kowariannego tensora krzywizny Ricciego dla metryki stacjonarnej o ze-
rowych składowych przestrzenno-czasowych 234
• Jawna postać symboli Christoffela pierwszego rodzaju dla metryki diagonalnej 235
• Jawna postać symboli Christoffela drugiego rodzaju dla metryki diagonalnej 236
• Jawna postać kowariannego tensora krzywizny Ricciego dla metryki diagonalnej 237
• Jawna postać kowariannego tensora krzywizny Ricciego dla metryki diagonalnej
(składowe mieszane) 238
• Jawna postać symboli Christoffela pierwszego rodzaju dla stacjonarnej metryki diago-
nalnej 239
• Jawna postać symboli Christoffela drugiego rodzaju dla stacjonarnej metryki diagonal-
nej 240
• Jawna postać kowariannego tensora krzywizny Ricciego dla stacjonarnej metryki dia-
gonalnej 241
• Jawna postać kowariannego tensora krzywizny Ricciego dla stacjonarnej metryki dia-
gonalnej (składowe mieszane) 242
• Symbole Christoffela drugiego rodzaju i składowe tensora Ricciego odpowiadające
rozwiązaniu osiowo-symetrycznemu Weyla 243
• Jawna postać niezerowych składowych niezależnych mieszanego tensora krzywizny
odpowiadających modelowi Wszechświata Friedmana dla przypadku k = 1 244
• Jawna postać niezerowych składowych niezależnych mieszanego tensora krzywizny
odpowiadających prostemu modelowi rozszerzającej się czasoprzestrzeni 246
Bibliografia 248
Dodatek 250
• Oryginalne wyniki 250
• Propozycje nowych nazw 250
14
POLE GRAWITACYJҭE
TEORIA ҭEWTOҭA
1 RÓWҭAҭIA POLA GRAWITACYJҭEGO
• Wektor natężenia pola grawitacyjnego
Pole grawitacyjne to przestrzeń, w której na spoczywające i poruszające się ciała działają
siły proporcjonalne do mas tych ciał.
ҭatężeniem pola grawitacyjnego E w danym punkcie nazywamy stosunek siły F, działa-
jącej ze strony pola na umieszczone w tym punkcie odpowiednio małe ciało, do masy m tego
ciała.
E =
F
m
Natężenie pola grawitacyjnego jest wektorem. Jednostką natężenia jest niuton na kilogram.
[ ]
E =
1N
1kg
.
Znajomość wektorów natężenia w każdym punkcie pola grawitacyjnego pozwala na obliczenie
siły działającej na znajdujące się w polu ciało o masie m.
F
m=
E
Stacjonarnym (stałym) polem grawitacyjnym nazywamy takie pole grawitacyjne, którego
wektory natężeń są stałe w czasie. Jednorodnym polem grawitacyjnym nazywamy takie pole
grawitacyjne, którego wektory natężeń są stałe co do wartości, kierunku i zwrotu w każdym
punkcie pola.
• Prawo Gaussa w postaci całkowej (globalnej)
Strumień wektora natężenia pola grawitacyjnego przez powierzchnię zamkniętą jest
proporcjonalny do sumy mas ciał otoczonych przez tę powierzchnię.
SE
d
⋅
π−=
G4
ρ
dV
∫∫∫
V
=Φ
E
∫∫
S
=Φ
E
dSE
⋅
∫∫
S
π−=
mG4
∑
i
π−=
GM4
i
EΦ = strumień wektora natężenia pola grawitacyjnego przez powierzchnię zamkniętą S
Strumień wektora przez dany element powierzchni zamkniętej jest ujemny, gdy wektor ma
różną od zera składową, skierowaną do wnętrza powierzchni Gaussa, prostopadłą do dane-
go elementu powierzchni.
2
ρ = gęstość objętościowa masy
M = całkowita masa ciał znajdujących się w obszarze V
= stała grawitacyjna
,6G
Nm
⋅
10
672
−
2
kg
=
−
11
15
POLE GRAWITACYJNE – TEORIA NEWTONA
• Prawo Gaussa w postaci różniczkowej (lokalnej)
ρ
dV
G4
⋅ SE
d
Prawo Gaussa
∫∫
∫∫∫
π−=
S
Twierdzenie Gaussa
∫∫
SE
∫∫∫
div
E
=
d
⋅
V
S
V
dV
div
E
dV
∫∫∫
V
π−=
G4
ρ
dV
∫∫∫
V
ρπ−=
divE
G4
• Potencjalność stacjonarnego (stałego) pola wektora E
Stacjonarne pole wektora natężenia E jest polem bezwirowym lub potencjalnym, czyli po-
lem w którym praca, wykonywana przez siły pola przy przesuwaniu cząstki o masie m wzdłuż
krzywej zamkniętej, jest równa zeru. Tak więc praca wykonywana przez siły pola przy przesu-
waniu cząstki z jednego punktu do drugiego zależy tylko od położenia tych punktów, a nie
zależy od toru po którym przesuwana była cząstka. Stacjonarne pole wektora natężenia można
opisać skalarem zwanym potencjałem grawitacyjnym.
Różnica potencjałów grawitacyjnych między punktami A i B jest równa stosunkowi pracy
BAW → , którą wykonują siły pola grawitacyjnego przy przemieszczaniu cząstki z punktu A
do punktu B, do masy m tej cząstki.
=ϕ−ϕ
A
B
W
→
BA
m
[ ]
=ϕ
1J
1kg
Aϕ w danym punkcie A pola grawitacyjnego nazywamy sto-
Potencjałem grawitacyjnym
sunek pracy, jaką muszą wykonać siły pola przy przemieszczaniu cząstki z danego punktu
A do punktu B w którym z założenia potencjał jest równy zeru, do masy m tej cząstki.
=ϕ−ϕ
A
B
W BA
→
m
,
B =ϕ
0
UWAGA
Najczęściej przyjmuje się
cjałów.
0=ϕ
w nieskończoności. Fizyczny sens ma jedynie różnica poten-
W
=→
BA
(
ϕ−ϕ
A
)B
lF
d
⋅
=
0
∫
l
m
B
W
BA
→
lF d
⋅
= ∫
E
A
m=
F
Twierdzenie Stokesa
∫
SE
lE
d
∫∫
rot
=
d
⋅
⋅
l
S
⋅
lE
d
∫
l
rot =E
=
0
0
Dla stacjonarnego pola grawitacyjnego cyrku-
lacja wektora E wzdłuż dowolnej drogi zamk-
niętej oraz rotacja wektora E w każdym punk-
cie są równe zeru.
• Związek między natężeniem a potencjałem
∂E
∂
t
rot
grad
=
0
,
rot =E
0
E
−= grad
ϕ
=ϕ
0
16
POLE GRAWITACYJNE – TEORIA NEWTONA
• Równanie Poissona i Laplace’a
0
=
∂E
∂
t
ϕ
−= grad
E
ρπ−=
divE
G4
α=α
AA
A
div
div
2
div
grad
2
∂
∂
x
∂
∂
y
∂
∂
z
=∆
+
+
+
2
2
2
2
2
ϕ∆=ϕ∇=ϕ
grad
α
∆ = operator Laplace’a,
laplasjan
ρπ=ϕ∆
G4
Równanie Poissona
W pustej przestrzeni poza obszarem źródłowej masy prawa
strona równania Poissona jest równa zeru.
0=ϕ∆
Równanie Laplace’a
• Prawo ҭewtona
Dla powierzchni Gaussa będącej sferą o promieniu r, w środku której znajduje się punkto-
wa masa M, mamy:
S
2r4S
π=
∫∫
⋅
SE
d
∫∫
S
E mF =
E=E
SE
d
⋅
−=
π
r4E
2
π−=
GM4
E =
GM
2r
F =
GMm
2r
,
F=F
Każde dwa punktowe ciała o masach M i m
znajdujące się w odległości r od siebie przy-
ciągają się wzajemnie siłą o wartości F wprost
proporcjonalnej do iloczynu ich mas oraz od-
wrotnie proporcjonalnej do kwadratu odległoś-
ci między nimi.
• Zapis prawa ҭewtona w postaci wektorowej
m1
r2
r1
0
m2
m1
m2
F
12
−=
mGm
1
2
r
12
2
⋅
r
12
r
12
r
2
1m ,
2m = masy przyciągających się punktowych ciał
= odległość między punktami 1 i 2
=
12r = promień wodzący poprowadzony z punktu 1 do punktu 2
12r
r
12
1r , 2r = promienie wodzące poprowadzone z początku układu współrzędnych odpowied-
nio do punku 1 i 2
12F = siła z jaką ciało o masie
F
12
1m przyciąga ciało o masie
−=
r
21
−=
−=
F
21
2m
,
,
r
21
r
12
r
2
r
1
r
1
−
17
POLE GRAWITACYJNE – TEORIA NEWTONA
2 RÓWҭAҭIA RUCHU PUҭKTU MATERIALҭEGO W ZEWҭĘTRZҭYM POLU
GRAWITACYJҭYM
2
d
iner dt
E
r
2
,
µ =
mF
2
xd
iner dt
2
µ
,
µ =
EmF
grav
µ
W dowolnym polu grawitacyjnym:
r
2
2
d
dt
=− E
0
,
2
xd
µ
2
dt
− µ
E
=
0
E
−= grad
ϕ
,
E
−=
µ
ϕ∂
∂
x
µ
F =
m
:
0
=
m grav
=
F
∂E
∂
t
x1 = ,
x
=
+
r
j
i
y
m =
iner m
x
grav
x3 =
x 2 = ,
+
+
e
x
x
11
y
=
k
z
z
e
22
+
x
e
33
W stacjonarnym polu grawitacyjnym:
r
2
2
d
dt
+
grad
=ϕ
0
,
2
xd
µ
2
dt
+
ϕ∂
∂
x
µ
=
0
3 POLE GRAWITACYJҭE PUҭKTOWEJ MASY
• ҭatężenie pola grawitacyjnego w odległości r od punktowego źródła o masie M
E =
F =
,
F
m
GMm
2r
E =
F
m
,
F −=
GMm
2
r
r
r
E =
GM
2r
E −=
GM
2
r
r
r
M = masa punktowego źródła r = promień wodzący zaczepiony w źródle
• Praca sił pola grawitacyjnego przy przemieszczaniu cząstki o masie m w polu punk-
towego źródła o masie M z punktu A do punktu B wzdłuż linii sił
W
=→
BA
⋅ rF
d
−=
∫
−
2
r
dr
−=
r
r
B
⋅
rF d
∫
GMm
r
A
2
r
−
1
W
=→
BA
GMm
⋅
1
r
B
−
1
r
A
dr
Ar = odległość punktu A od źródłowej masy M
Br = odległość punktu B od źródłowej masy M
• Potencjał pola grawitacyjnego w odległości r od punktowego źródła o masie M
=ϕ−ϕ
A
B
∞=Br
,
W
=→
BA
W
→
BA
m
B =ϕ
0
GMm
1
r
B
−
1
r
A
−=ϕ
A
GM
r
A
Potencjał pola grawitacyjnego dla dowolnego rozkładu
mas:
−=ϕ
G
∫∫∫ ρ
r
V
dV
18
POLE GRAWITACYJNE – TEORIA NEWTONA
4 POLE GRAWITACYJҭE UKŁADU PUҭKTÓW MATERIALҭYCH,
ZASADA SUPERPOZYCJI
• Zasada superpozycji natężeń
Wektor natężenia E pola grawitacyjnego, wytworzonego przez układ punktów material-
nych o masach Mi, równy jest sumie wektorów natężeń Ei pochodzących od poszczegól-
nych punktów.
E
=
N
∑
=
1i
E
i
−=
G
N
∑
=
1i
M
i
2
r
i
⋅
r
i
r
i
ir = promień wodzący zaczepiony w i-tym punkcie materialnym o masie
iM
• Zasada superpozycji potencjałów
Potencjał ϕ pola grawitacyjnego, wytworzonego przez układ punktów materialnych o ma-
sach Mi, równy jest sumie potencjałów
iϕ pochodzących od poszczególnych punktów.
=ϕ
N
∑
=
1i
−=ϕ
i
G
N
∑
=
1i
i
M
r
i
5 ROZWIҭIĘCIE MULTIPOLOWE POTEҭCJAŁU POLA GRWITACYJҭEGO
UKŁADU PUҭKTÓW MATERIALҭYCH
• Rozwinięcie multipolowe potencjału
Potencjał układu punktów materialnych w dużej odległości od tych punktów można przed-
stawić w postaci szeregu
+ϕ+ϕ+ϕ+ϕ=ϕ
0
1
2
3
K
−=
GK
1
R
0
−
1
GK
2
R
−
GK
3
R
2
−
GK
4
R
3
+
K
zwanym rozwinięciem multipolowym.
Punkt, w którym znajduje się masa Mi
(x , y , z )
i
i
i
Ri
0
ri
R
19
(x, y, z)
Punkt, w którym wyznaczamy potencjał
POLE GRAWITACYJNE – TEORIA NEWTONA
∑−=ϕ
G
i
i
=
M
r
i
1
1
+
1n
R
r
i
(
P
n cos
(
cos
P0
∞
n
i
=
0n
α
)i
(
cos
PR
n
∑
)i
α = wielomian Legendre’a stopnia n
) 1
)
=α
=α
)
=α
(
cos
(
cos
cos
,
,
α
P
2
P1
(
3
1
2
2
cos
−α
)1
−=ϕ
G
+
1n
R
∞
∑∑
PRM
n
n
i
i
(
cos
α
)i
i
=
0n
−=ϕ
G
R
∑
i
M
i
−
G
2
R
∑
i
RM
i
i
cos
−α
i
G
3
R
⋅
1
2
⋅
∑
i
(
3RM
2
i
i
2
cos
) K−−α
1
i
∑−=ϕ
0
M
i
= człon monopolowy
−=ϕ
1
RM
i
i
cos
α
i
= człon dipolowy
i
∑
i
1
2
⋅
⋅
G
R
G
2
R
G
3
R
∑=
i
−=ϕ
2
(
3RM
2
i
i
2
cos
−α
i
)
1
= człon kwadrupolowy
∑
i
K
0
M
= całkowita masa układu
i
K
1
=
∑
i
RM
i
i
cos
α
i
,
K
2
1
⋅=
2
∑
i
(
3RM
2
i
i
2
cos
−α
i
)
1
• Człon dipolowy w rozwinięciu potencjału
MG∑
i
R
i
i
cos
α
i
−=ϕ
1
cos
=α
i
2
R
RR ⋅
RR
i
i
−=ϕ
1
G
3
R
∑
i
M
i
RR ⋅
i
Środkiem masy układu punktów materialnych nazywamy punkt, którego promień wodzą-
cy
SR dany jest równaniem
df
=
R
S
i
∑
M R
∑
M
i
i
i
i
.
Jeżeli początek układu współrzędnych umieścić w środku masy układu punktów material-
nych będących źródłem pola grawitacyjnego, to człon dipolowy w rozwinięciu potencjału sta-
je się równy zeru, ponieważ wtedy suma momentów mas jest równa zeru
M
=
0
.
∑ R
i
i
i
20
POLE GRAWITACYJNE – TEORIA NEWTONA
• Człon kwadrupolowy w rozwinięciu potencjału
−=ϕ
2
G
3
R
⋅
1
2
⋅
∑
i
(
3RM
2
i
i
2
cos
−α
i
)1
R
2
i
=
xx
i
µ
2
cos
=α
i
µν
δ
i
ν
i
xxxx
µ
µ
2
RR
i
ν
2
i
x1 = ,
i
x =
,
1
x
x
i
x 2 = ,
y
x =
y
i
2
i
ν
2
i
R
(
3
x3 =
z
x =
,
z
i
3
i
2
cos
)
=−α
1
i
xx
i
µ
i
ν
ν
xx3
2
µ
R
δ−
µν
,
=δµν
1
0
ν=µ⇔
ν≠µ⇔
−=ϕ
2
G
3
R
⋅
1
2
⋅
∑∑∑
µ
ν
i
xxM
i
µ
i
i
ν
ν
xx3
2
µ
R
δ−
µν
d
µν =
∑
i
xxM
i
µ
i
i
ν
= tensor momentu kwadrupolowego układu punktów materialnych
−=ϕ
2
G
3
R
⋅
1
2
⋅
∑∑
µ
ν
d
µν
xx3
νµ
2
R
δ−
µν
xx
i
µ
i
ν
ν
xx3
2
µ
R
δ−
µν
=
1
3
(
xx3
i
µ
i
ν
−
R
δ
2
i
µν
ν
xx3
2
µ
R
)
δ−
µν
−=ϕ
2
G
3
R
⋅
1
6
⋅
∑∑∑
µ
ν
i
(
xx3M
i
µ
i
i
ν
−
R
2
i
δ
µν
ν
xx3
2
µ
R
)
δ−
µν
D
µν
=
∑
i
(
xx3M
i
µ
i
i
ν
−
R
2
i
δ
µν
)
= tensor momentu kwadrupolowego
−=ϕ
2
G
3
R
⋅
1
6
⋅
∑∑
µ
ν
D
µν
xx3
νµ
2
R
δ−
µν
• Tensor momentu kwadrupolowego
Symetryczny tensor drugiego rzędu
d
µν =
∑
i
xxM
i
µ
i
i
ν
jest jedną z dwu postaci tensora momentu kwadrupolowego układu punktów materialnych bę-
dących źródłem pola grawitacyjnego, tworzy go dziewięć składowych w tym sześć niezależ-
nych.
d
xx
=
d
xy
=
∑
i
d
yx
2
,xM
i
i
d
=
yy
=
∑
i
,yxM
i
i
i
∑
i
d
2
,yM
i
i
d
=
zz
∑
i
zM
i
2
i
=
d
zx
=
xz
∑
i
,zxM
i
i
i
d
=
d
zy
=
yz
zyM
i
i
i
∑
i
21
POLE GRAWITACYJNE – TEORIA NEWTONA
−=ϕ
2
G
3
R
⋅
1
6
⋅
∑∑
µ
ν
D
µν
xx3
νµ
2
R
δ−
µν
D
µν
=
∑
i
(
xx3M
i
µ
i
i
ν
−
R
2
i
δ
µν
)
µνD jest inną postacią tensora momentu kwadrupolowego układu punktów materialnych będą-
cych źródłem pola grawitacyjnego. A oto jego składowe:
=
=
)
)
)
i
x2M
(
(
(
z2M
y2M
i
i
i
∑
∑
∑
i
i
2
i
−
y
2
i
−
z
2
i
2
i
−
x
2
i
−
z
2
i
2
i
−
x
2
i
−
y
2
i
)
)
)
D
xx
=
D
yy
=
D
zz
=
D
xy
=
i
∑
∑
∑
i
i
D
yx
D
xz
=
D
D
yz
=
D
zx
zy
i
i
i
y3M
(
x3M
(
(
z3M
∑
∑
∑
=
=
=
i
i
R
2
i
=
x
2
i
+
y
2
i
i
+
z
2
i
2
i
−
R
2
i
2
i
−
R
2
i
2
i
−
R
2
i
=
yxM3
i
i
i
zxM3
i
i
zyM3
i
i
i
i
Tensor
µνD ma 5 niezależnych składo-
wych ponieważ jest tensorem symet-
rycznym
D
µν = D
νµ
a suma jego składowych diagonalnych
jest równa zeru
D
+
D
yy
+
D
zz
xx
=
0
.
• Związek tensora momentu kwadrupolowego z tensorem momentu bezwładności
Tensor momentu bezwładności układu punktów materialnych względem początku układu
współrzędnych z definicji dany jest przez
I
µν
df
=∑
i
(
RM
i
2
i
−δ
µν
xx
i
µ
)i
ν
,
R
2
i
=
3
)∑
(
x
i
λ
2
=λ
1
I
11
= ∑
i
I
12
=
I
21
(
x M
i
[
2
)
i
2
(
x
+
) ]2i
3
,
I
22
= ∑
i
(
x M
i
[
)
2i
1
(
x
+
) ]2i
3
,
I
33
= ∑
i
(
x M
i
[
)
2i
1
(
x
i
2
+
) ]2
,
∑−=
i
xxM
i
1
i
i
2
,
I
13
=
I
31
∑−=
i
xxM
i
1
i
i
3
,
I
23
=
I
32
∑−=
i
xxM
i
2
i
i
3
,
lub
I
xx
= ∑
i
(
y M
i
2
i
+
z
)2
i
,
I
yy
(
x M
i
2
i
+
z
)2
i
,
I
zz
= ∑
i
(
x M
i
2
i
+
y
)2
i
,
= ∑
i
I
xy
=
I
yx
∑−=
i
yxM
i
i
,
I
xz
i
=
I
zx
zxM
i
i
,
I
yz
i
=
I
zy
∑−=
i
zyM
i
i
.
i
(
x
i
2
2
)
(
x
+
) ]
2i
3
∑=
RM2
i
i
2
i
, co ułatwia znalezienie
∑−=
)
2i
1
+
i
(
x M2
i
[
Mamy też
I
11
+
I
22
+
I
33
=
poszukiwanej relacji.
D
µν
−=
I3
µν
+
(
I
11
+
I
22
+
I
33
) µν
δ
d
µν
−=
I
µν
+
1
2
(
I
11
+
I
22
+
I
33
) µν
δ
22
Pobierz darmowy fragment (pdf)