Darmowy fragment publikacji:
Zbigniew Osiak
SZCZEGÓLNA
TEORIA
WZGLĘDNOŚCI
2
Zbigniew Osiak
SZCZEGÓLҭA
TEORIA WZGLĘDҭOŚCI
MECHAҭIKA RELATYWISTYCZҭA
POLE ELEKTROMAGҭETYCZҭE
Matematyka powinna być służącą, a nie królową.
Joli,
mojej żonie poświęcam
3
© Copyright by Zbigniew Osiak
Wszelkie prawa zastrzeżone. Rozpowszechnianie i kopiowanie całości lub części publikacji
zabronione bez pisemnej zgody autora.
Portret (rysunek) Alberta Einsteina zamieszczony na stronie tytułowej
Małgorzata Osiak
Portret autora zamieszczony na okładkach przedniej i tylnej
Rafał Pudło
Wydawnictwo: Self Publishing
ISBN: 978-83-272-3464-3
e-mail: zbigniew.osiak@live.com
4
WSTĘP
Fizycy to poeci nauki tworzący jej awangardę.
Szczególna Teoria Względności przeznaczona jest dla studentów wszystkich uczelni, na któ-
rych wykładana jest fizyka. Może być przydatna dla nauczycieli fizyki w szkołach średnich.
Mam nadzieję, że zostanie wykorzystana również przez zawodowych relatywistów.
Szczególna Teoria Względności jest pierwszą częścią tryptyku, pozostałe dwie to:
• Ogólna Teoria Względności
• Twórcy Teorii Względności
Szczegółowe informacje bibliograficzne, biograficzne oraz ikonograficzne znajdują się w
trzeciej części tryptyku.
Należę do pokolenia fizyków, dla których idolami byli Albert Einstein, Lew Nikołajewicz
Landau i Richard P. Feynman. Einstein zniewolił mnie potęgą swej intuicji. Landaua podzi-
wiam za rzetelność, precyzję, elegancję i prostotę wywodów, oraz instynktowne wyczuwanie
istoty zagadnienia. Feynman urzekł mnie lekkością narracji i subtelnym poczuciem humoru.
Praca nad tryptykiem zajęła mi sześć lat.
Zbigniew Osiak
Wrocław, wrzesień 2004
5
SPIS TREŚCI
STROҭA TYTUŁOWA
STROҭA PRAW AUTORSKICH
WSTĘP
MECHAҭIKA RELATYWISTYCZҭA
1. Postulaty Einsteina 12
• Postulaty Einsteina 12
• Kowariantność (współzmienniczość) równań względem transformacji Lorentza 12
• Inwariantność prędkości światła w próżni względem transformacji Lorentza 12
2. Transformacje Lorentza 13
• Szczególne transformacje Lorentza o dwóch zmiennych 13
• Przestrzeń Minkowskiego 14
• Przekształcenia Lorentza nie zmieniają metryki czasoprzestrzeni 14
• Własności znakowe kwadratu odległości czasoprzestrzennej dwóch zdarzeń 15
3. Macierz transformacji Lorentza 16
• Macierz transformacji Lorentza 16
• Macierz odwrotnego przekształcenia Lorentza 17
4. Podstawowe wnioski wynikające z transformacji Lorentza 18
• Równoczesność zdarzeń i następstwo czasowe 18
• Dylatacja czasu 19
• Kontrakcja (skrócenie) długości 19
• Podstawowy eksperyment szczególnej teorii względności 20
5. Czas własny 21
• Czas własny 21
6. Grupa Lorentza 22
• Grupa Lorentza 22
• Szczególne transformacje Lorentza 23
• Obroty trójwymiarowe 23
• Inwersje osi współrzędnych przestrzennych 24
• Odwrócenie (inwersja) czasu 24
• Przekształcenie tożsamościowe 24
• Grupy Poincaré i Lorentza jako grupy Liego 24
7. Transformacje Lorentza czterowektora 28
• Czterowektory 28
• Transformacja Lorentza czterowektora 28
• Kwadrat modułu czterowektora jako niezmiennik 28
• Odwrotna transformacja Lorentza czterowektora 29
• Iloczyn skalarny dwóch czterowektorów jako niezmiennik 29
6
8. Transformacje Lorentza czterotensora drugiego rzędu 30
• Czterotensory drugiego rzędu 30
• Transformacja Lorentza czterotensora drugiego rzędu 30
• Odwrotna transformacja Lorentza czterotensora drugiego rzędu 32
• Ślad tensora jako niezmiennik 33
• Wyznacznik tensora jako niezmiennik 34
9. Czterogradient, czterodywergencja i dalambercjan 34
• Czterogradient 34
• Czterodywergencja 35
• Czterodywergencja jako niezmiennik 35
• Dalambercjan 35
10. Czterowektory położenia, prędkości, przyspieszenia i pędu 36
• Czterowektor położenia 36
• Czterowektor prędkości 36
• Kwadrat modułu czterowektora prędkości 37
• Relatywistyczna transformacja prędkości 37
• Relatywistyczne składanie prędkości równoległych 38
• Doświadczenie Fizeau 38
• Czterowektor przyspieszenia 39
• Relatywistyczna transformacja przyspieszenia 40
• Czteroprędkość i czteroprzyspieszenie w układzie własnym cząstki 41
• Czterowektory prędkości i przyspieszenia cząstki są ortogonalne 41
• Czterowektor pędu 42
• Prędkość i przyspieszenie jako pochodne promienia wodzącego względem długości
przedziału czasoprzestrzennego 43
11. Dynamika relatywistyczna 44
• Czterowymiarowe relatywistyczne równania ruchu, siła Minkowskiego 44
• Czwarta składowa czterowektora siły Minkowskiego 44
• Trójwymiarowe relatywistyczne równania ruchu Minkowskiego 45
• Trójwymiarowe „relatywistyczne” równania ruchu Plancka 45
• Energia kinetyczna, całkowita i spoczynkowa w mechanice relatywistycznej 46
• Relatywistyczna transformacja siły 47
• Składowe czterowektora siły wyrażone przez składowe trójwymiarowych wektorów
prędkości i przyspieszenia 47
• Czterowekor pędu-energii 48
• Kwadrat modułu czterowektora pędu-energii, związek między energią i pędem 48
• Transformacja czterowektora pędu-energii 48
• Funkcja Lagrange’a punktu materialnego 49
• Funkcja Hamiltona punktu materialnego 49
• Kanoniczne równania ruchu Hamiltona 49
12. Diagram czasoprzestrzenny 50
• Diagram czasoprzestrzenny 50
13. Uwagi końcowe 52
• Niefortunna nazwa 52
• Układ inercjalny 52
• Transformacje Lorentza a transformacje Galileusza 52
7
POLE ELEKTROMAGҭETYCZҭE W OŚRODKACH SPOCZYWAJĄCYCH
1. Równania pola elektromagnetycznego dla wektorów E, D, B, H – równania
Maxwella 53
• Równania Maxwella w postaci lokalnej (różniczkowej) 53
• Równania Maxwella w postaci globalnej (całkowej) 54
• Pełny układ równań pola elektromagnetycznego we współrzędnych kartezjańskich 55
2. Równania materiałowe 56
• Równania materiałowe dla ośrodków izotropowych nie zawierających ferroelektry-
ków, ferromagnetyków i magnesów stałych 56
• Równania materiałowe dla ośrodków anizotropowych 56
3. Warunki graniczne 57
4. Równania ruchu – siła Lorentza 57
5. Równania bilansu 58
• Lokalne równanie bilansu gęstości objętościowej wielkości skalarnej 58
• Nierelatywistyczne globalne równanie bilansu wielkości skalarnej 59
• Relatywistyczne globalne równanie bilansu wielkości skalarnej 59
• Nierelatywistyczne lokalne równanie bilansu wielkości wektorowej 60
• Nierelatywistyczne globalne równanie bilansu wielkości wektorowej 60
6. Równanie bilansu ładunku – równanie ciągłości 61
• Równanie bilansu ładunku w postaci lokalnej 61
• Równanie bilansu ładunku w postaci globalnej 61
7. Równanie bilansu energii pola elektrycznego, wektor Poyntinga 62
• Równanie bilansu energii w postaci lokalnej 62
• Równanie bilansu energii w postaci globalnej 62
• Interpretacje 62
8. Tensor naprężeń 64
• Definicja naprężenia 64
• Tensor naprężeń 64
9. Warunki gwarantujące równoważność sił objętościowych i powierzchniowych 69
• Siły objętościowe 69
• Siły powierzchniowe 69
• Twierdzenie Gaussa-Greena 69
• Równoważność sił objętościowych i powierzchniowych działających w polu elektro-
magnetycznym na ładunki, prądy, dielektryki i magnetyki 69
• Warunki równoważności sił objętościowych i powierzchniowych 70
• Warunki gwarantujące równość sil objętościowych i powierzchniowych 70
• Warunki gwarantujące równość momentów sil objętościowych i sił naprężeń powierz-
chniowych 71
10. Równanie bilansu pędu pola elektromagnetycznego, tensor naprężeń Maxwella 72
• Równanie bilansu pędu pola elektromagnetycznego w postaci lokalnej 72
• Tensor naprężeń Maxwella pola elektromagnetycznego 73
• Równanie bilansu pędu pola elektromagnetycznego w postaci globalnej 73
• Interpretacje 74
11. ҭaprężenia działające w polu elektrycznym 75
• Stacjonarne pole elektryczne 75
• Naprężenie działające w stacjonarnym polu elektrycznym na element powierzchni o
kierunku normalnej zewnętrznej 75
8
12. ҭaprężenia działające w polu magnetycznym 76
• Stacjonarne pole magnetyczne 76
• Naprężenie działające w stacjonarnym polu magnetycznym na element powierzchni o
kierunku normalnej zewnętrznej 77
13. Równanie bilansu momentu pędu pola elektromagnetycznego 78
• Równanie bilansu momentu pędu pola elektromagnetycznego w postaci lokalnej 78
• Tensor momentu pędu pola elektromagnetycznego drugiego rzędu 79
• Równanie bilansu momentu pędu pola elektromagnetycznego w postaci globalnej 79
• Interpretacje 79
• Tensor momentu pędu pola elektromagnetycznego trzeciego rzędu 80
14. Równania pola elektromagnetycznego w ośrodkach jednorodnych dla potencjałów
skalarnego i wektorowego 81
• Potencjał skalarny i wektorowy 81
•
ρ−=ϕ→ρ=
81
div
D
1
ε
•
rot
jH
+=
D
∂
t
∂
→
A
µ−=
j
82
• Po co to wszystko? 83
15. Równanie falowe (ogólna postać) 84
• Równanie falowe dla wektora E 84
• Równanie falowe dla wektora H 84
16. Równanie falowe pola elektromagnetycznego dla próżni i ośrodków jednorodnych,
nie pochłaniających i nieprzewodzących 85
17. Fala płaska spolaryzowana liniowo o dowolnym kształcie impulsu jako jedno z roz-
wiązań równania falowego 86
• Fala płaska 86
• Fala spolaryzowana liniowo 86
• Równanie fali płaskiej spolaryzowanej liniowo 86
18. Prostopadłość wektorów natężenia pola elektrycznego i indukcji magnetycznej do
kierunku rozchodzenia się płaskiej fali spolaryzowanej liniowo o dowolnym kształcie
impulsu 88
19. Prostopadłość wektora indukcji magnetycznej B do wektora natężenia pola elektry-
cznego płaskiej fali elektromagnetycznej spolaryzowanej liniowo o dowolnym kształ-
cie impulsu 89
20. Rozchodzenie się fal elektromagnetycznych w jednorodnym ośrodku przewodzącym,
równanie telegrafistów (telegraficzne) 91
POLE ELEKTROMAGҭETYCZҭE W OŚRODKACH PORUSZAJĄCYCH SIĘ
1. Równania pola elektromagnetycznego w próżni dla czterowektora potencjału 92
• Czterowektor potencjału 92
• Czterowektor gęstości prądu 92
• Dodatkowy warunek Lorenza dla czterowektora potencjału 93
• Równania Maxwella dla czterowektora potencjału 93
• Równanie ciągłości 94
• Po co to wszystko? 94
2. Równania Maxwella w postaci tensorowej 95
• Jednorodne Maxwella w postaci tensorowej 95
• Niejednorodne równania Maxwella w postaci tensorowej 96
9
• Równania Maxwella i siła Lorentza wyrażone przez tensor Fµν 97
• Równania Maxwella wyrażone przez tensor Dµν 97
• Składowe tensora Fµν wyrażone przez składowe czterowektora potencjału 98
• Wyniki 98
• Równania Maxwella dla próżni 99
3. Transformacja Lorentza dla wektorów E, B, D i H pola elektromagnetycznego 100
• Transformacja Lorentza dla wektorów E, B, D i H 100
• Odwrotna transformacja Lorentza dla wektorów E, B, D i H 101
• Wyniki 102
• Przykład pól elektrycznego i magnetycznego równoległych w obu układach współ-
rzędnych 103
• Przykład pól elektrycznego i magnetycznego równoległych w układzie K i nierówno-
ległych w układzie K’ 103
4. Składowe wektorów E, B, D, H prostopadłe i równoległe do wektora prędkości V 104
• Wyniki 105
5. ҭiezmienniki transformacji Lorentza 106
• Niezmienniki transformacji Lorentza wektorów E, B, D i H 106
• Wnioski wynikające z transformacji Lorentza i jej niezmienników 107
6. Pole ładunku poruszającego się ruchem jednostajnym prostoliniowym 111
• Wektor natężenia pola elektrycznego poruszającego się ładunku 111
• Składowe równoległa i prostopadła wektora natężenia pola elektrycznego poruszające-
go się ładunku 112
• Pole magnetycznego poruszającego się ładunku 112
• Prawo Biota-Savarta 113
7. Wzajemne oddziaływanie dwóch poruszających się ładunków 113
8. Równania materiałowe dla poruszających się ośrodków 114
• Równania materiałowe dla poruszających się ośrodków, równania Minkowskiego 114
• Równania materiałowe Minkowskiego w czterowymiarowej postaci tensorowej 115
9. Prawo Ohma dla poruszających się ośrodków 116
• Prawo Ohma dla poruszających się ośrodków 116
• Różniczkowe (lokalne) prawo Ohma w czterowymiarowej postaci tensorowej 116
10. Warunki graniczne dla poruszających się ośrodków 117
• Przypadek granicy prostopadłej do prędkości 117
• Przypadek ogólny 118
11. Tensor pędu-energii pola elektromagnetycznego 120
• Tensor pędu-energii pola elektromagnetycznego w próżni 120
• Własności tensora pędu-energii w próżni 121
• Transformacja Lorentza wybranych składowych tensora pędu-energii w próżni 122
• Równania łączące czterowektor gęstości siły, czterowektor gęstości prądu i jeden z
tensorów pola elektromagnetycznego 123
• Składowe tensora pędu-energii wyrażone przez składowe tensorów Fµν i Hµν 124
• Macierz pędu-energii pola elektromagnetycznego w ośrodku 125
• Problemy związane z konstrukcją tensora pędu-energii w ośrodku 126
• Tensor pędu-energii pola elektromagnetycznego w ośrodku 127
• Własności tensora pędu-energii w ośrodku 128
• Transformacja Lorentza wybranych składowych tensora pędu-energii w ośrodku 129
• Czterowektor gęstości siły w ośrodku 130
10
12. Częstotliwość i kierunek rozchodzenia się płaskiej fali elektromagnetycznej wzglę-
dem różnych obserwatorów inercjalnych 131
• Faza fali jako niezmiennik 131
• Efekt Dopplera 131
• Aberracja 132
Bibliografia 133
Dodatek 135
11
MECHAҭIKA
RELATYWISTYCZҭA
1 POSTULATY EIҭSTEIҭA
• Postulaty Einsteina
• Definicje wielkości fizycznych oraz prawa fizyki można tak sformułować, aby ich
ogólne postacie były takie same we wszystkich inercjalnych układach odniesienia.
• Wartość prędkości fal elektromagnetycznych (światła) w próżni jest we wszystkich
inercjalnych układach odniesienia taka sama.
Postulaty Einsteina są równoważne założeniu, że wszystkie równania fizyki w inercjal-
nych układach odniesienia powinny być kowariantne (współzmiennicze) względem transfor-
macji (przekształceń) Lorentza.
x
−
Vt
=′
x
2
V
2
c
−
1
=′
y
y
=′
z
z
=′
t
−
t
Vx
2
c
−
1
2
V
2
c
y
0
t
t
0
0
x
x
0
0
0
0
x
x
0
0
=′=
=′=
y
y
0
0
′=
′=
y
y
0
0
z
z
0
0
′=
′=
z
z
0
0
x
=′=
t
t
0
0
y′
y
0
0
V = (V,0,0)
x′
0′
0
z
z′
• Kowariantność (współzmienniczość) równań względem transformacji Lorentza
Równania są współzmiennicze (kowariantne) względem transformacji Lorentza, jeżeli
poddane tej transformacji nie zmieniają swojej postaci. Równanie zapisane w postaci kowa-
riantnej względem transformacji Lorentza ma jednakową postać we wszystkich inercjalnych
układach odniesienia pomimo, że wartości danej wielkości fizycznej mogą być różne w róż-
nych układach odniesienia.
Niezmiennikiem (inwariantem) transformacji Lorentza nazywamy funkcję skalarną zacho-
wującą tę samą wartość, gdy w miejsce starych zmiennych podstawimy nowe zmienne.
• Inwariantność prędkości światła w próżni względem transformacji Lorentza
Stałość wartości prędkości światła w próżni oznacza istnienie granicznej (nieprzekraczal-
nej) wartości prędkości rozchodzenia się sygnałów.
Czoło fali elektromagnetycznej w próżni opisywane jest w układzie nieprimowanym i pri-
mowanym odpowiednio równaniami:
x
2
+
2
y
+
2
z
=
22
tc
oraz
x
12
2
=′+′+′
2
2
y
z
2
2
tc
′
MECHANIKA RELATYWISTYCZNA
2 TRAҭSFORMACJE LOREҭTZA
2
2
2
2
2
x
x
y
2
tc
• Szczególne transformacje Lorentza o dwóch zmiennych
Stałość wartości prędkości światła w próżni w dwóch inercjalnych układach odniesienia
primowanym i nieprimowanym oznacza, że:
x
−′+′+′
2
z
=
,x
1
′=′
,x
1
2
x
3
x
x
2
2
+
z
=′
2
+
−
=
=
=
,x
y
,x
ict
2
3
′=′
′=′
,x
y
z
,x
tic
2
3
2
2
2
2
2
+
+
+
x
x
x
x
x
4
3
2
1
4
x
x
Znajdziemy transformację liniową gwarantującą prawdziwość powyższego równania.
x
=′+′+′+′
2
1
x
′=′
x
4
22
tc
x
4
+
+
+
+
xa
13
3
xa
23
xa
33
xa
43
3
3
3
+
+
+
+
xa
14
4
xa
24
xa
34
xa
44
4
4
4
xa
12
2
xa
22
2
2
2
xa
32
xa
42
x
2
3
x
xa
14
4
1
1
31
21
xa
xa
11
1
xa
+
+
+
+
1
=′
2
=′
x
3
+
xa
11
x
xa
41
x
1
2
x
3
=′
1
=′
2
=′
3
=′
4
x
x
x
x
x
x
=′
1
=′
2
=′
3
=′
4
a
a
12
22
=
=
a
13
a
33
=
=
a
1
=
a
23
=
a
24
=
a
31
=
a
32
=
a
34
=
a
42
=
a
43
=
0
21
+
xa
x
Wyznaczymy teraz współczynniki
xa
44
41
1
4
x
x
=′+′+′+′
2
1
=′+′+′+′
2
1
2
3
2
3
2
2
2
2
2
4
2
4
x
x
x
x
x
x
(
xa
1
(
+
a
11
2
11
+
2
a
41
xa
14
)
2
x
1
11a ,
)
2
4
+
14a ,
41a ,
44a
2
2
+
+
+
x
x
2
3
(
2
2
2
+
+
x
a
44
3
2
badanej transformacji.
(
xa
41
2
+
a
14
) 2
4
(
aa 2
11
xa
44
2
+
4
+
)
x
+
14
1
x
aa
41
44
)
xx
1
4
a
a
2
+
11
2
+
44
aa
11
a
1
2
=
41
2
=
a
14
+
aa
41
1
14
a
2
11
a
14
a
11
=
0
44
2
=
a
44
−=
a
,0
−=
a1
=
41
a
2
41
iBa
11
0
44
−=
a1
2
14
a
11
=
a
44
=
a
14
−=
a
41
=
2
1
−
B1
iB
−
B1
2
x
2
2
=′+′+′+′
2
1
x
Znaleziona transformacja nazywana jest szczególną transformacją Lorentza.
2
3
2
4
+
+
+
x
x
x
x
x
x
2
1
2
3
2
2
2
4
x
=′
1
x
x
=′
2
=′
3
x
x
x
=′
4
1
−
B1
x
1
+
2
iB
−
B1
2
x
4
2
3
−
iB
−
B1
2
x
1
+
1
−
B1
2
x
4
x
=′
1
const
=
V
dx
1
dt
ii −=
1
13
′
xd
1
dt
0
=
=
1
−
B1
2
dx
1
dt
+
iB
−
B1
2
dx
4
dt
1
−
B1
2
V
+
iB
−
B1
2
ic
V
c
=
B
MECHANIKA RELATYWISTYCZNA
1
2
=
=
=
x ,y
x ,x
• Przestrzeń Minkowskiego
x
ict
są współrzędnymi kartezjańskimi punktu (zdarzenia)
w czterowymiarowej przestrzeni Minkowskiego (czasoprzestrzeni), w której kwadrat róż-
niczki urojonej odległości między dwoma dowolnie bliskimi punktami dany jest przez
(
ds
x ,z
dx
dx
dx
dx
dx
dx
(
dx
)
µ ∑∑
∑
+
+
=
+
=
=
=
g
)
(
(
)
)
(
)
)
(
µν
2
2
2
2
,
2
2
µ
ν
4
4
4
4
2
3
1
3
4
=µ
1
=µ
1
=ν
1
g
=µν
0001
0010
0100
1000
,
µνg jest tensorem metrycznym przestrzeni Minkowskiego o składowych:
g
11
g
12
g
g
13
, 1
g
=
=
=
=
=
=
=
=
g
g
g
g
. 0
=
=
=
=
=
=
=
=
g
g
g
g
g
g
g
24
32
34
43
42
21
22
33
44
41
14
23
31
• Przekształcenia Lorentza nie zmieniają metryki czasoprzestrzeni
x
+
iBx
1
)
4
x
x
x
x
(
Γ=′
1
=′
x
2
=′
x
3
3
Γ=′
4
(
2
x
4
−
iBx
)1
x
x
x
x
1
2
3
4
1
x
(
−′Γ=
′=
x
2
′=
x
3
(
+′Γ=
x
4
xiB
)
′
4
xiB
)1
′
1
2
−
−
df
−
1
B
df
=
Vc
,
) 2
(
2
−=Γ
cV1
)0 ,0 ,V=V
(
= prędkość układu primowanego względem układu nieprimowanego
=
=
x ,y
x
x ,x
3
2
1
′=′
′=′
x ,y
x ,x
x
1
2
=
=
−
Vt
Vt
iicc
=
=
x ,z
ict
4
′=′
′
=′
x ,z
tic
3
4
)
(
−
1
=
ict
iVc
iVc
ii −=
1
iBx
,
=
x
−
−
1
1
4
4
Kwadrat urojonej odległości między dwoma punktami (zdarzeniami) w czterowymiarowej
przestrzeni Minkowskiego jest niezmiennikiem transformacji Lorentza
)
(
∆
s
=′∆′∆′
µν
=∆∆
(
′∆
x
µ
(
∆
x
′∆=
s
) 2
=
=
)
x
g
x
x
g
x
(
)
µν
2
2
.
2
µ
µ
µ
ν
ν
4
4
4
4
∑
=µ
1
∑∑
=µ
1
=ν
1
∑∑
=µ
1
=ν
1
∑
=µ
1
Transformacje Lorentza nie zmieniają metryki czasoprzestrzeni:
g
′= g
µν
.
µν
DOWÓD
4
1
2
1
(
∆+∆Γ=′∆
x
x
iB
∆=′∆
x
∆=′∆
x
3
(
∆−∆Γ=′∆
x
x
iB
x
x
x
x
3
2
4
4
)1
(
B1
−
2
) 1
=
2
Γ
)
(
=′∆
)
s
2
(
′∆
x
µ
2
)
4
∑
=µ
1
′∆+′∆=
x
2
x
1
2
)
(
(
2
)
(
′∆+′∆+
x
4
x
(
)
3
2
2
)
=
1
2
2
2
∆+∆Γ=
x
iB
(
(
∆=
x
(
∆=
x
(
∆=
x
x
1
) (
2
Γ−Γ
(
)
2
Γ
B1
)
(
∆+
x
−
1
2
2
1
2
2
)
4
B
)
2
2
2
(
∆+
x
)
(
∆+
x
(
)
∆+
x
)
(
∆+
x
2
3
2
2
2
2
2
(
)
∆+
x
(
)
∆+
x
)
(
∆+
x
(
∆+
x
3
2
3
4
)
2
2
2
3
2
)
iB
∆−∆Γ+
x
(
)
2
∆+
x
(
)
∆+
x
4
(
∑
∆
x
(
x
4
) (
2
Γ−Γ
(
2
Γ
B1
)
1
B
)
)2
(
∆=
s
=
=
−
4
2
µ
2
4
2
2
2
)
2
)
)
=
=
2
=µ
1
14
MECHANIKA RELATYWISTYCZNA
• Własności znakowe kwadratu odległości czasoprzestrzennej dwóch zdarzeń
2
∆−∆+∆+∆=∆+∆+∆+∆=∆
t
x
x
x
x
x
x
x
c
s
2
2
2
2
3
2
2
2
3
2
4
2
1
2
1
2
,
x 4 =
ict
,
i
−=
1
2s∆ = kwadrat odległości czasoprzestrzennej dwóch zdarzeń (forma metryczna)
∆+∆+∆
x
x
2
c ∆ = kwadrat odległości czasowej dwóch zdarzeń
= kwadrat odległości przestrzennej dwóch zdarzeń
2
1
t
x
2
3
2
2
2
Dwa zdarzenia mogą pozostawać w związku przyczynowo skutkowym wtedy i tylko wte-
dy, gdy odległość przestrzenna między nimi jest nie większa od ich odległości czasowej.
s2 ∆
0
Kwadrat odległości czasoprzestrzennej dwóch zdarzeń jest ujemny, jeżeli kwadrat odległości
,
przestrzennej tych zdarzeń jest mniejszy od kwadratu ich odległości czasowej. Jeżeli
0
to między dwoma zdarzeniami mógł nastąpić związek przyczynowo skutkowy, czyli w czasie
t∆ światło zdążyło przebyć odległość przestrzenną między tymi zdarzeniami.
UWAGA
Jeżeli
, to s∆ jest urojone.
s2 ∆
s2 ∆
0
s2 =∆
0
Kwadrat odległości czasoprzestrzennej dwóch zdarzeń jest zerem, jeżeli kwadrat odległości
, to
przestrzennej tych zdarzeń jest równy kwadratowi ich odległości czasowej. Jeżeli
między dwoma zdarzeniami mógł nastąpić związek przyczynowo skutkowy, czyli w czasie dt
światło zdążyło jeszcze przebyć odległość przestrzenną między tymi zdarzeniami.
UWAGA
Przypadek
opisuje rozchodzenie się światła.
s2 =∆
s2 =∆
0
0
s2 ∆
0
Kwadrat odległości czasoprzestrzennej dwóch zdarzeń jest dodatni, jeżeli kwadrat odległości
,
przestrzennej tych zdarzeń jest większy od kwadratu ich odległości czasowej. Jeżeli
0
to między dwoma zdarzeniami nie mógł nastąpić związek przyczynowo skutkowy, czyli
w czasie
UWAGA
Jeżeli
t∆ światło nie zdążyło przebyć odległości przestrzennej między tymi zdarzeniami.
, to s∆ jest rzeczywiste.
s2 ∆
s2 ∆
0
UWAGA
U różnych autorów spotykamy różne definicje różniczkowej formy kwadratowej.
ds
,
,
dx
dx
dx
ict
0
2
2
1
dx
=
=
dx
−=
2
1
dx
+
+
2
1
2
2
+
+
2
2
dx
−
2
2
dx
dx
−
2
3
dx
2
3
+
−
2
3
2
4
dx
+
2
0
dx
,
2
0
x 4 =
x 0 =
ct
x 0 =
ds2 ≤
ds2 ≤
0
ds2 ≥
0
,
ct
,
2
ds
2
ds
,
My wybraliśmy pierwszą z nich.
15
MECHANIKA RELATYWISTYCZNA
3 MACIERZ TRAҭSFORMACJI LOREҭTZA
• Macierz transformacji Lorentza
x
x
x
x
=′
1
=′
2
=′
3
=′
4
x
µ =′
1
xa
1
11
xa
21
xa
31
xa
41
1
1
+
+
+
+
xa
12
2
xa
22
xa
32
xa
42
2
2
2
+
xa
13
3
+
xa
23
+
xa
33
+
xa
43
3
3
3
+
xa
14
4
+
xa
24
+
xa
34
+
xa
44
4
4
4
x
x
x
x
2
1
+Γ=′
x0
1
=′
+
x1
2
2
=′
+
x0
3
2
+Γ−=′
x
4
x
x0
x0
1
iB
1
1
x0
x0
x1
+
+
+
x0
2
3
3
3
+
4
iB
x0
x0
Γ+
+
+
x0
3
x
4
4
Γ+
x
4
4
∑
=ν
1
xa
µν
ν
,
a
µν
=
′∂
x
µ
∂
x
ν
,
df
=Γ
(
2
cV1
−
−
2
1
−
) 2
,
B
df
=
−
1
Vc
a
=µν
Γ
0
0
iB
Γ−
Γ
iB00
01
0
10
0
Γ
00
TWIERDZEҭIE
Transformacje Lorentza są transformacjami ortogonalnymi.
4
x
DOWÓD
Transformacje ortogonalne
µ ∑
=′
spełniają następujące warunki (warunki ortogonalności)
4
∑ aa
(
=µ
,xa
µν
ν
1,2,3,4
δ=
=ν
1
)
αβ
αλ
βλ
,
=α
1
==δ
11
1
==δ
22
1
==δ
33
1
==δ
44
1
4
∑
=α
1
4
∑
=α
1
4
∑
=α
1
4
∑
=α
1
aa
α
1
α
1
=
aa
11
11
+
aa
21
21
+
aa
31
31
+
, aa
41
41
aa
α
2
α
2
=
aa
12
12
+
aa
22
22
+
aa
32
32
+
, aa
42
42
aa
α
3
α
3
=
aa
13
13
+
aa
23
23
+
aa
33
33
+
, aa
43
43
aa
α
4
α
4
=
aa
14
14
+
aa
24
24
+
aa
34
34
+
. aa
44
44
Suma kwadratów elementów każdej kolumny równa się 1.
Ten warunek ortogonalności macierz transformacji Lorentza spełnia, ponieważ
B
2
2
Γ=Γ
2
(
B1
−
2
)
2
=ΓΓ=
2
−
, 1
0
2
2
2
+
+Γ
0
2
2
+
+
1
0
0
+
+
0
)
2
+Γ
0
(
iB
0
2
2
2
1
2
2
2
2
2
)
, 1
(
−Γ=Γ−+
+
0
+
+
iB
=
=
Γ=Γ+
, 1
2
0
2
0
2
2
(
B1
−
2
)
2
=ΓΓ=
2
−
, 1
16
MECHANIKA RELATYWISTYCZNA
aa
α
1
α
2
=
aa
11
12
+
aa
21
22
+
aa
31
+
, aa
41
42
32
aa
α
1
α
3
=
aa
11
13
+
aa
21
23
+
aa
31
+
, aa
41
43
33
aa
α
1
α
4
=
aa
11
14
+
aa
21
24
+
aa
31
+
, aa
41
44
34
aa
α
2
α
3
=
aa
12
13
+
aa
22
23
+
aa
32
+
, aa
42
43
33
aa
α
2
α
4
=
aa
12
14
+
aa
22
24
+
aa
32
+
, aa
42
44
34
aa
α
3
α
4
=
aa
13
14
+
aa
23
24
+
aa
33
+
. aa
43
44
34
==δ=δ
12
0
21
==δ=δ
13
0
31
==δ=δ
14
0
41
==δ=δ
23
0
32
==δ=δ
24
0
42
==δ=δ
34
0
43
4
∑
=α
1
4
∑
=α
1
4
∑
=α
1
4
∑
=α
1
4
∑
=α
1
4
∑
=α
1
Suma iloczynów odpowiednich elementów dwóch kolumn równa się zeru.
Te warunki ortogonalności macierz transformacji Lorentza również spełnia, co bardzo łatwo
sprawdzić.
=⋅Γ−+⋅+⋅+⋅Γ
M
00100
iB
0
0
(
)
TWIERDZEҭIE
Wyznacznik macierzy przekształceń Lorentza jest równy jedności.
DOWÓD
adet
µν
=
Γ
0
0
iB
Γ−
Γ
iB00
0
01
0
10
Γ
00
(
−=
+
11
)
1
Γ
001
0
10
Γ
00
(
−+
+
41
)
1
iB
Γ
0
0
B
Γ−
01
10
00
2
−Γ=
B
2
2
=Γ
1
Transformacje ortogonalne, których wyznacznik jest równy 1, oznaczają obroty układu.
Szczególna transformacja Lorentza opisuje obroty w płaszczyźnie
.
1xx
4
• Macierz odwrotnego przekształcenia Lorentza
4
)
)
4
x
x
a
=µ
(
=µν
1,2,3,4
1,2,3,4
,xa
ν
µν
′
,xc
µν
ν
(
=µ
Γ
0
0
iB
Γ
iB00
01
0
10
0
Γ
00
Dla macierzy ortogonalnej macierz odwrotna jest równa macierzy przestawionej.
µ ∑
=′
=ν
1
Γ−
′∂
x
µ
∂
x
ν
′∂
x
µ
∂
x
µ ∑
=
=ν
1
Γ
0
0
Γ
iB
∂
x
µ
′∂
x
ν
∂
x
µ
′∂
x
ν
00
01
10
00
iB
0
0
Γ
∂
x
ν
′∂
x
µ
′∂
x
ν
∂
x
Γ−
=µν
Ta
µν
,
a
Tc
µν
,
c
df
=
=
a
=
c
df
=
c
µν
c
µν
a
µν
=
a
µν
=
µν
νµ
=
νµ
=
=
=
µν
µ
ν
c
17
MECHANIKA RELATYWISTYCZNA
4 PODSTAWOWE WҭIOSKI WYҭIKAJĄCE Z TRAҭSFORMACJI LOREҭTZA
• Równoczesność zdarzeń i następstwo czasowe
−
)Vt
(
x
Γ=′
x
y =′
y
z =′
z
−Γ=′
t
2−
(
t
(
2cV1
)xVc
) 2
−
−
−
2
1
=Γ
t
Γ=′−′
2
t
1
[
(
t
2
−
t
1
)
−
Vc
−
2
(
x
2
]1
)
−
x
1
t
t
2
x
⇒
=
=
′=′
t
1
2
WҭIOSEK I
t
1
x
Dwa zdarzenia 1 i 2 równoczesne w układzie nieprimowanym (
t
)2
również w układzie primowanym (
′=′
t
1
nieprimowanym w tym samym punkcie (
x
t
2
)2
1
będą równoczesne
wtedy i tylko wtedy, gdy zaszły one w układzie
=
x
.
t
1
=
)2
t
2
x
⇒
=
WҭIOSEK II
t
1
x
Następstwo czasowe dwóch zdarzeń 1 i 2 nie ulega zmianie (
wtedy, gdy zaszły one w układzie nieprimowanym w tym samym punkcie (
′ ′
t
1
2
t ,t
2
t
t
1
1
2
)2
′ ′
t
wtedy i tylko
1
=
x
x
.
)2
1
WҭIOSEK III
t
t
t
2
1
[
(
)
−
tΓ
1
2
⇓
(
)
−
=
t
tc
1
2
−
−
2
Vc
(
x
2
−
x
1
−
1
Vc
(
x
2
−
x
1
)
]
)
=
0
⇒
t
′=′
t
2
1
WҭIOSEK IV
t
t
1
2
2
−
t
t
−
1
)
0
x
−
−
]
)
Vc
Vc
(
x
⇒
′ ′
t
2
1
(
x
)
t
)
2
1
[
(
)
−
tΓ
1
2
⇓
(
)
−
tc
t
2
1
(
=
:cV
tc
)1
Jeżeli odległość między dwoma punktami (
w układzie nieprimowanym jest mniejsza
niż droga przebyta przez światło w przedziale czasu (
w układzie nieprimowanym,
to w układzie primowanym (
, co oznacza, że nie uległo zmianie następstwo czaso-
we (chwila późniejsza w układzie nieprimowanym jest również późniejsza w układzie
primowanym).
) 0
′−′
2
−
x
2
1
(
x
) 0
x −
−
−
−
x
x
t
t
t
t
2
1
1
2
1
2
1
2
18
MECHANIKA RELATYWISTYCZNA
1
2
2
t
−
2
t
t
−
1
(
0
x
−
x
]
)
Vc
⇒
′ ′
t
2
1
)
WҭIOSEK V
t
1
[
(
)
Γ
−
−
t
1
2
⇓
(
)
−
t c
Vc
t
2
1
(
=
:cV
t c
Jeżeli odległość między dwoma punktami (
)1
w układzie nieprimowanym jest większa
niż droga przebyta przez światło w przedziale czasu (
t
w układzie nieprimowanym,
to w układzie primowanym (
, co oznacza, że uległo zmianie następstwo czasowe
(chwila późniejsza w układzie nieprimowanym jest chwilą wcześniejszą w układzie primowa-
nym).
) 0
′−′
2
(
x
)
−
t
−
2
(
) 0
x
1
x
x
−
−
−
t
x
x
)
t
t
2
1
1
2
2
1
1
2
• Dylatacja czasu
)tVx
′
x
y
z
t
(
+′Γ=
′=
y
′=
z
(
+′Γ=
t
(
2cV1
=Γ
1 Γ
−
−
2
)xVc
′
) 2
−
−
2
1
)
+′−′Γ=−
t
t
1
2
1
[
(
t
−
2
Vc
(
x
]1
)
′−′
x
2
Zegar primowany spoczywa względem układu primo-
wanego (
poruszając się z prędkością V
względem układu nieprimowanego.
=′−′
2
)0
x
x
1
)
=′−′
2
t
1
(
t
2
−
t
1
)(
2
cV1
−
−
1 2
) 2
(
t
)
′−′
2
t
1
(
t
2
−
)1
t
t
2
(
t
t
′−′
t
2
1
= przedział czasu zmierzony zegarem spoczywającym względem układu primowa-
nego (
x
)2
′=′
x
1
, czyli przedział czasu zmierzony w układzie własnym zegara
1
t
t − = przedział czasu zmierzony zegarami znajdującymi się w układzie laboratoryjnym
2
(nieprimowanym) w miejscach określonych przez współrzędne przestrzenne roz-
ważanych zdarzeń
Przedział czasu, upływającego między dwoma zdarzeniami, zmierzony w układzie labora-
toryjnym w miejscach określonych przez współrzędne przestrzenne rozważanych zdarzeń jest
większy niż przedział czasu zmierzony w układzie własnym w miejscu zachodzenia tych zda-
rzeń. Opisane zjawisko nazywane jest dylatacją czasu.
• Kontrakcja (skrócenie) długości
Pręt równoległy do osi x porusza się z prędkością V względem układu nieprimowanego,
jednocześnie spoczywając względem układu primowanego. Obserwator w układzie nieprimo-
wanym dokonuje pomiaru współrzędnych końców pręta w tym samym czasie (t1 = t2).
−
)Vt
(
x
Γ=′
x
y =′
y
z =′
z
−Γ=′
t
2−
(
t
(
2cV1
)xVc
) 2
−
−
−
2
1
=Γ
x
x
[
(
Γ=′−′
2
x
1
x
2
−
x
1
)
−
(
t V
2
−
]1
)
t
=′−′
2
x
1
t =
1
t
2
(
x
2
−
)(
2
cV1 x
1
−
−
2
19
1
−
) 2
MECHANIKA RELATYWISTYCZNA
x
′−′
x
2
1
x −
2
1
x
= długość pręta spoczywającego względem układu primowanego zmierzona przez
obserwatora spoczywającego względem tego układu
= długość pręta poruszającego się względem układu nieprimowanego zmierzona
przez obserwatora spoczywającego względem tego układu, pomiar współrzędnych
końców pręta obserwator dokonał w tym samym czasie,
)
′−′
2
t =
1
)1
x
−
x
x
(
t
2
2
(
x
Długość pręta poruszającego się względem obserwatora jest mniejsza od długości pręta
spoczywającego względem obserwatora. Zjawisko to nazywane jest kontrakcją długości.
• Podstawowy eksperyment szczególnej teorii względności
y
z
y′
y
V
x′
A
B
xA
xB
x
z′
Źródło światła znajduje się w punkcie A układu nieprimowanego. W chwili At
impuls świetlny, który dotarł do punktu B w chwili Bt
układu nieprimowanego dokonał pomiaru wartości prędkości światła jako
wysłało
. Obserwator nieruchomy względem
c
=
x
t
B
B
−
−
A
.
x
t
A
Obserwator nieruchomy względem układu primowanego również zmierzył wartość pręd-
kości, korzystając z analogicznego wzoru
Porównamy oba wyniki, wykorzystując transformacje Lorentza.
=′
c
x
t
′−′
x
B
A
′−′
t
B
A
.
c
=′
x
t
′−′
x
B
A
′−′
t
B
A
=
x
B
−
B
−
t
A
x
A
−
t
(
t V
B
(
−
2
x
−
Vc
−
t
−
B
A
x
)
A
) =
x
=′
A
x
=′
B
t
t
t
=′
A
t
=′
B
A
−
2
2
B
−
−
Vt
x
A
2
−
cV1
−
Vt
x
B
2
−
cV1
−
cVx
A
−
2
−
cV1
−
cVx
B
−
2
−
cV1
A
B
−
2
2
−
2
2
=
x
t
B
B
−
−
A
⋅
x
t
A
−
−
Vc
)
A
(
t V
x
−
2
t
−
B
−
x
B
A
(
−
x
B
−
t
A
B
t
=
)
x
A
x
t
B
B
−
−
A
=
c
x
t
A
A
=
c
x
t
A
=′
c
x
t
′−′
x
B
A
′−′
t
B
A
=
x
t
B
B
−
−
20
MECHANIKA RELATYWISTYCZNA
5 CZAS WŁASҭY
• Czas własny
Czasem własnym nazywamy różniczkę lub odstęp czasu, między dwoma zdarzeniami za-
chodzącymi w tym samym miejscu w układzie primowanym (układzie własnym), zmierzonego
zegarem znajdującym się w tym miejscu.
2
ds
=
4
∑
dx
2
µ
=
4
∑
xd
=′
2
µ
2
sd
′
=µ
1
=′
xd
2
=′
1
xd
=′
3
0
=µ
1
xd
4
∑
=′
2
4
xd
=µ
1
xd
=′
2
4
dx
dx
2
µ
+
2
4
1
x 4 =
ict
2
2
tdci
=′
2
2
2
ci
dt
v
2
=
dx
dx
2
1
+
2
dx
2
2
dx
4
=′
x 4
dx
−
+
2
3
dx
′
tic
,
2
2
+
dx
1
2
2
c
dt
2
3
dx
+
2
dx
2
2
dt
2
,
+
1
2
1
i2
+
2
−=
2
dx
3
1
td
=′
2
2
dt
1
−
2
2
v
c
df
=′=τ
d
td
2
cv1dt
−
−
2
τd = czas własny,
d
′=τ
td
dt
Odstęp czasu między dwoma zdarzeniami jest krótszy w układzie własnym niż w układzie
laboratoryjnym:
∆ ′∆
t
t
.
= przedział czasu zmierzony zegarem w układzie własnym (primowanym)
t′∆=∆τ
t∆ = przedział czasu zmierzony zegarami w układzie laboratoryjnym (nieprimowanym),
znajdującymi się w miejscach określonych przez współrzędne rozpatrywanych zdarzeń
Relacje podane niżej przydadzą się w dalszych rozważaniach.
2
ds
=
ds
=
4
µ∑
dx
2
=µ
1
4
µ∑
dx
2
=µ
1
=
xd
=′
2
4
2
2
tdci
=′
2
2
2
ci
dt
2
(
2
cv1
−
−
2
)
=
dx
2
4
(
2
cv1
−
−
2
)
=
2
2
τ
dci
2
=
xd
=′
4
icd
t
=′
icdt
2
cv1
−
−
2
=
dx
4
2
cv1
−
−
2
=
icd
τ
d
=τ
2
cv1dt
−
−
2
=
dt
γ
=
ds
ic
,
=γ
1
2cv1
−
−
2
21
MECHANIKA RELATYWISTYCZNA
6 GRUPA LOREҭTZA
• Grupa Lorentza
Niepusty zbiór G nieosobliwych przekształceń liniowych reprezentowanych przez ich ma-
cierze stanowi grupę, gdy
1.
∈⋅
1−A = macierz odwrotna macierzy A
E = macierz jednostkowa
∈
⋅
(
)
GBA,
GCB,A,
=⋅
∧
) GBA
∧
(
)CBACBA
−∨∧
∨∧
∈
AAEEA
⋅=⋅
AA
GAGA
=
=
=
(
−
1
−
1
⋅
⋅
⋅
⋅
∈
∈
1
EAA
GEGA
∈
∈
2.
3.
4.
TWIERDZEҭIE
Liniowe transformacje ortogonalne tworzą grupę.
TWIERDZEҭIE
Dla macierzy ortogonalnej macierz odwrotna jest równa macierzy transponowanej.
TWIERDZEҭIE
Wyznaczniki macierzy ortogonalnych są równe 1± .
TWIERDZEҭIE
)
=
det
det
det
(
A
A
B
B
×
44
×
44
×
44
×
44
⋅
⋅
4
µ
µν
x
b
+
xa
Poszukamy liniowych transformacji
=′ ∑
które nie zmieniają metryki czasoprzestrzeni
4
∑
µ =′
∑
dx
xd
=ν
1
2
µ
,
µ
ν
2
4
?
=µ
1
=µ
1
xd
=′
µ
xd
=′
µ
4
∑
=µ
1
xd
2
µ =′
4
4
4
∑∑∑
=µ
1
=β
1
4
∑
=α
1
4
∑
=β
1
a
dx
α
µα
a
dx
β
µβ
xd
2
µ =′
aa
µα
dx
dx
β
α
µβ
4
4
∑∑
=α
1
=β
1
aa
µα
dx
dx
β
α
µβ
δ=
αβ
µβ
(warunek ortogonalności)
=α
1
4
∑ aa
µα
=µ
1
4
∑
=µ
1
xd
2
µ =′
4
∑
=µ
1
dx
2
µ
b =µ
0
Liniowe transformacje jednorodne (
) nie zmieniające metryki czasoprzestrzeni są
transformacjami ortogonalnymi, tworzą więc grupę zwaną grupą Lorentza. Należą do niej
między innymi szczególne transformacje Lorentza o dwóch zmiennych, obroty trójwymiaro-
we, inwersje osi współrzędnych przestrzennych, odwrócenie czasu, przekształcenie tożsamo-
ściowe oraz ich złożenia, a także transformacje odwrotne do wymienionych.
Grupa liniowych transformacji niejednorodnych (
) nazywana jest grupą Poincaré.
0
∨
µ
b ≠µ
22
Pobierz darmowy fragment (pdf)
